sejarah bilangan

Sejarah Bilangan dan Perkembangannya
Sejarah Angka di Dunia
Hampir tak ada negara di dunia yang tak mengenal angka (bilangan). Semuanya mengenal angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dan 0. Angka-angka itu menjadi roh dalam ilmumatematika. Sulit dibayangkan, andai tak ditemukan angka-angka tersebut.Dalam berbagai literatur yang ada, tak disebutkan siapa orang yang pertama kalimenemukan angka-angka atau bilangan tersebut. Yang pasti, menurut Abah Salma Alif Sampayya, dalam bukunya Keseimbangan Matematika dalam Alquran , catatan angka pertama kali ditemukan pada selembar tanah liat yang dibuat suku Sumeria yang tinggaldi daerah Mesopotamia sekitar tahun 3.000 SM.Bangsa Mesir kuno menulis angka pada daun lontar dengan tulisan hieroglif yangdilambangkan dengan garis lurus untuk satuan, lengkungan ke atas untuk puluhan,lengkungan setengah lingkaran menyamping (seperti obat nyamuk) untuk ratusan, dan untuk jutaan dilambangkan dengan simbol seorang laki-laki yang menaikkan tangan.Sistem ini kemudian dikembangkan oleh bangsa Mesir menjadi sistem hieratik.
Bangsa Roma menggunakan tujuh tanda untuk mewakili angka, yaitu I, V, X, L, C, D,dan M, yang dikenal dengan angka Romawi. Angka ini digunakan di seluruh Eropa hingga abad pertengahan.Sementara itu, angka modern saat ini, berasal dari simbol yangdigunakan oleh para ahli matematika Hindu India sekitar tahun 200 SM, yang kemudian dikembangkan oleh orang Arab. Sehingga, angka tersebut disebut dengan angka Arab. Dibandingkan dari seluruh angka yang ada (1-9), angka 0 (nol) merupakan angka yang paling terakhir kemunculannya. Bahkan, angka nol pernah ditolak keberadaannya olehkalangan gereja Kristen. Orang yang paling berjasa memperkenalkan angka nol di dunia ini adalah al-Khawarizmi, seorang ilmuwan Muslim terkenal. Dia memperkenalkanangka nol melalui karyanya yang monumental Al-Jabr wa al-Muqbala atau yang lebihdikenal dengan nama Aljabar . Angka nol ini kemudian dibawa ke Eropa oleh LeonardoFibonacci dalam karyanya Liber Abaci , dan semakin dikenal luas pada zamanRenaisance dengan tokoh-tokohnya, antara lain, Leonardo da Vinci dan Rene Descartes.Pada mulanya, angka nol digambarkan sebagai ruang kosong tanpa bentuk yang di Indiadisebut dengan sunya (kosong, hampa).Hingga kini, angka nol memiliki makna yangsangat khas dan memudahkan seseorang dalam berhitung. Namun, ada kalanyakeberadaan angka nol ini dapat menimbulkan kekacauan logika.”Jika suatu bilangan dibagi dengan nol, hasilnya tidak dapat didefinisikan. Bahkan,komputer sekalipun akan mati mendadak jika tiba-tiba bertemu dengan pembagi angka nol,” jelas Sampayya.Komputer diperintahkan berhenti berpikir bila bertemu dengan sangdivisor nol. Hasil yang tertera pada komputer angka menunjukkan #DIV/0!.
Bilangan dan angka
Dalam penggunaan sehari-hari, angka dan bilangan seringkali dianggap sebagai dua hal yang sama. Sebenarnya, angka dan bilangan mempunyai pengertian yang berbeda. Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Sedangkan angka adalah suatu simbol atau lambang yang digunakan untuk mewakili satu bilangan. Contohnya, bilangan lima dapat dilambangkan dengan angka 5 maupun menggunakan angka romawi V. Lambang ”5” dan ”V” yang digunakan untuk melambangkan bilangan lima disebut sebagai angka. Jadi, sebenarnya benda apakah yang biasa kita sebut dengan bilangan itu?
Setiap bilangan, misalnya bilangan yang kita lambangkan dengan angka 1, sesungguhnya adalah konsep abstrak yang tidak bisa tertangkap oleh indra manusia, tetapi bersifat universal. Misalnya, tulisan atau ketikan 1. Yang anda liat di kertas dan sedang anda baca saat ini bukanlah bilangan 1, melainkan hanya lambang dari bilangan satu yang tertangkap oleh indera penglihatan anda berkat adanya pantulan cahaya dari kertas ke mata anda. Demikian pula bila anda melihat lambang yang sama di papan tulis, yang anda lihat bukanlah bilangan 1, melainkan tinta dari spidol yang membentuk lambang dari bilangan 1. Dalam matematika, konsep bilangan selama bertahun-tahun telah diperluas untuk meliputi bilangan nol, bilangan asli, bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan irasional, dan lain-lain.
Bilangan asli merupakan salah satu konsepmatematika yang paling sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti oleh manusia, bahkan beberapa penelitian menunjukkan beberapa jenis kera besar juga bisa menggunakannya. Bilangan asli terdiridari bilangan bulat positif yang bukan nol (1, 2, 3, 4,….). Wajar bila jenis pertama dari bilangan yang digunakan untuk menghitung ini tidak menggunakan nol. Karena sebenarnya dalam kehidupan sehari-hari kita tidak membutuhkan bilangan nol. Seperti dalam menghitung apel pada gambar di bawah, kita tidak menghitungnyadengan cara menghitung dari nol (nol apel, satu apel, dua apel, ….) melainkan dengan menghitung dari satu. Atau saat ditanya berapa apel yang kamu punya, kita akan lebih cenderung menjawab tidak punya apel ketimbangmenjawab saya punya nol apel.

Perkembangan Angka dari berbagi tempat
Kemungkinan terbesar manusia mulai menghitung adalah setelah bahasa berkembang. Saat itu jari-jari tangan merupakan alat hitung yang paling alami. Itulah sebabnya mengapa sistem perhitungan yang kita gunakan saat ini menggunakan bilangan berbasis 10. Untuk mencari bukti sejarah, ukiran pada batu atau kayu adalah solusi yang paling alami. Dari bukti sejarah, sistem hitung yang paling awal terdiri dari simbol berulang yang masing-masing terdiri dari sepuluh, yang diikuti oleh pengulangan simbol untuk satu. Untuk contoh pada angka-angka yang digunakan saat ini seperti 1 sampai 10, kemudian 11 (simbol bilangan satu diulang pada simbol bilangan sebelas sebagai penanda 11 adalah 10 + 1). Atau pada bilangan romawi, bilangan dua puluh satu dilambangkan menjadi XXI (simbol angka sepuluh diulang kemudian dimulai lagi dari satu sebagai penanda 20 adalah 10 + 10 +1)

Angka Mesir (3000-1600 SM)
Di Mesir, sejak sekitar 3000 tahun sebelum masehi, bukti sejarah yang ditemukan menyebutkan bahwa satu disimbolkan sebagai garis vertikal, sedangkan 10 diwakilkan oleh lambang ^. Orang mesir menulis dari kanan ke kiri, jadi bilangan dua puluh tiga disimbolkan menjadi |||^^. Bila anda sulit mengartikannya menjadi 23, bandingkanlah dengan angka romawi XXIII. Angka romawi tersebut pada dasarnya adalah sistem Mesir, diadaptasi oleh Roma dan sampai sekarang masih kita gunakan setelah kemunculan pertamanya yaitu lebihdari 5000 tahun yang lalu.
Para juru tulis Fir’aun (yang hartanya sangat sulit untuk dihitung) menggunakan suatu sistem untuk menghitung angka-angka besar. Memang sulit digunakan, tapi tidak diragukanlagi itu yang mereka pakai. Membaca versi tertulis dari angka-angka besar mesir sama seperti menghitung total nilai dari koin-koin judi di Las Vegas. Orang-orang mesir kuno meletakan angka yang besar di kanan, dan yang kecil di kiri. Jadi, untuk keperluan demonstrasi, bayangkanlah koin A bernilai 100.000, koin B bernilai 10.000, koin C bernilai 1.000, koin D bernilai 100, koin E bernilai 10, dan koin F bernilai 1. dengan nilai-nilai itu, angka Mesir FEEEDDDDDDCCCCBBBAA bisa mewakilkan angka 234.641. Dan angka-angka besar seperti ini berperan dalam dokumen yang mendeskripsikan harta-harta milikfiraun. Simbol Mesir untuk angka besar seperti 100.000, adalah suatu simbol yang seperti burung, tetapiangka-angka yang lebih kecil dilambangkan dengan garis lurus dan melengkung.

Angka Babylonia (1750 SM)
Orang-orang Babylonia, menggunakan sistem bilangan berbasis 60. Sistem ini benar- benar sulit digunakan, karena secara logika seharusnya membutuhkan 59 simbol yang berbeda (sama seperti sistem desimal berbasis 10 saat inimempunyai simbol yang berbeda sampai 9). Sebaliknya, angka di bawah 60 dilambangkan dengan kelompok-kelompok sepuluh.

Angka Babylonia
Yang menyebabkan bentuk tertulisnya sangan aneh jika dibandingkan dengan composisi aritmatika manapun.
Melalui keunggulan orang Babylonia pada bidang astronomi, sistem perhitungan berbasis 60 mereka masih ada sampai sekarang pada 60 detik dalam satu menit, dan pada pengukuran sudut, 180 derajat pada jumlah sudut segitiga dan 360 derajat pada sudut satu lingkaran. Dan jauh setelah itu, saat waktu bisa diukur dengan akurat, sistem yang sama jugadigunakan dalam 60 menit dalam 1 jam.
Orang Babylonia mengambil langkah krusial menuju suatu sistem perhitungan yang lebih efektif. Mereka memperkenalkan konsep nilai tempat, yaitu angka yang sama bisa mempunyai nilai yang berbeda tergantung letak angka pada urutan. Untuk lebih jelas, kita ambil contoh angka 222. Pada angka tersebut terdapat tiga angka 2 yang mempunyai nilai yang berbeda-beda, yaitu 200, 20, dan 2. Tapi konsep ini baru dan merupakan langkah yang sangat berani bagi orang Babylonia. Untuk mereka, dengan sistem perhitungan berbasis 60, sistem nilai tempat lebih sulit untuk digunakan. Untuk mereka angka simpel seperti 222 mempunyai nilai 7322 bila menggunakan sistem hitung berbasis 10 yang kita gunakan (2 x60 kuadrat + 2 x 60 + 2)
Sistem nilai tempat membutuhkan suatu tanda yang bermakna ”kosong”, untuk saat-saat dimana jumlah nilai pada satu kolom sama dengan kelipatan 60. Dari sinilah awal mula angka 0. Meskipun bilangan nol itu sendiri belum ada, dan angka 0 tidak mempunyai nilai numerik tersendiri.

Angka Suku Maya
Suku maya, sama seperti suku Aztec, menggunakan sistem bilangan berbasis 20.Seperti orang Babylonia, suku Maya menggunakan sistem nilai tempat, dan tentu saja, angka nol. Mereka menggunakan 3 set grafik notasi yang berbeda untuk mewakili angka:
a) Dengan titik dan garis,
b) Dengan figur antropomorfik, dan
c) dengan simbol.

Angka suku Maya

Figur di atas melambangkan angka 0-10 untuk suku Maya

Angka Romawi 300 SM
Angka romawi menggunakan sistem bilangan berbasis 5. Angka I dan V dalam angkaromawi terinspirasi dari bentuk tangan, yang merupakan alat hitung alami. Sedangkan angka X/ lambang dari 10, adalah gabungan dua garis miring yang melambangkan 5. Dan L, C, D,dan M, yang secara urut mewakili 50, 100, 500, dan 1.000, merupakan modifikasi dari simbol Vdan X

Garis yang miring mewakili jempol, yang kemudian menjadi simbol limaX(10) adalah gabungan dua garis miring

Symbol L, C, D, & M merupakanmmodifikasi dari simbol V & X
Untuk menulis angka, orang Romawimenggunakan sistem penjumlahan : V + I = VI (6) atau C + X + X + I = CXXI (121), dan sistem pengurangan : IX (I sebelum X =9) atau XCIV (Xsebelum C = 90, I sebelum V = 4)

Nol, Sistem Desimal , dan Angka Hindu-Arab (300 SM – sekarang)
Pada sistem perhitungan Babylonia dan Maya, bentuk angka tertulisnya masih sangan rumit untuk perhitungan aritmatika yang efisien. Selain itu, angka nol belum berfungsi penuh.
Agar angka nol bisa memenuhi potensinya dalam matematika, setiap bilangan harus mempunyai simbol sendiri atau paling tidak angka-angka dasar dalam basis hitungan mempunyai simbol sendiri. Sistem ini kemungkinan muncul pertama kali di India. Angka-angka yang dipakai saat ini mengalami perubahan-perubahan bertahap sejak 3 abad sebelum masehi.

Orang-orang India menggunakan lingkaran kecil saat tempat pada angka tidak mempunyai nilai, mereka menamai lingkaran kecil tersebut dengan nama sunya, diambil dari bahasa sansekerta yang berarti ”kosong”. Sistem ini telah berkembang penuh sekitar tahun 800 Masehi, saat sistem ini juga diadaptasi di Baghdad. Orang arab menggunakan titik sebagai simbol ”kosong”, dan memberi nama dengan arti yang sama dalam bahasa arab, sifr.
Sekitar dua abad kemudian angka India masuk ke Eropa dalam manuskrip Arab, dan dikenal dengan nama angka Hindu-Arab. Dan angka Arab sifr berubah menjadi ”zero” dalam bahasa Eropa modern, atau dalam bahasa Indonesia, ”nol”. Tetapi masih perlu berabad-abad lagi sebelum ke-sepuluh angka Hindu-Arab secara bertahap menggantikan angka romawi di Eropa, yang diwarisi dari masa kekaisaran Roma.

Tokoh-tokoh matematika

Leonardo Pisano/Fibonacci (1170-1250)

Lenardo Pisano Bogolo, juga dikenal dengan nama Leonardo of Pisa, Leonardo Pisano , Leonardo Bonacci, atau yang paling sering disebut dengan nama Fibonacci, adalah seorang ahli matematika dari Itali. Beberapaorang menyebutnya “ahli matematika dari barat yang paling berbakat pada abad pertengahan”.
Fibonacci dikenal oleh dunia karena menyebarkan sistem perhitungan Hindu-Arab di Eropa. Terutama melalui publikasi bukunya pada awal abad ke 13 yaitu Book of Calculation atau Liber Abaci.
Lahir sekitar tahun 1170, anak dari Guglielmo Fibonacci, seorang pedagang kaya italia. Guglielmo memimpin sebuah pos perdagangan (beberapa catatan menyebutkan ia adalah konsultan untuk Pisa) di Bugia,sebuah pelabuhan di sebelah timur Algiers Muwahidun kesultanan dinasti diAfrika Utara (sekarang Bejaia, Aljazair). Sebagai anak muda, Leonardo berpergian dengan ayahnya untuk membantu ayahnya, disanalah dia belajar tentang sistem perhitungan Hindu-Arab.
Menyadari bahwa berhitung dengan angka Hindu-Arab lebih sederhana dan lebih efisien dibandingkan dengan angka Romawi, Fibonacci menjelajahi seluruh dunia Mediterania untuk belajar di bawah pengawasan matematikawan Arab terkemuka saat itu. Leonardo kembali dari perjalanannya sekitar 1200. Pada 1202, saat ia berusia 32 tahun, ia menuangkan semua yang ia pelajari kedalam buku Liber Abaci (Kitab Abacus atau Book of Calculatiaon), dan dengan demikian memperkenalkan angka-angka Hindu-Arab ke Eropa

Al-khawarizmi

Nama Asli dari al-Khawarizmi ialah Muhammad Ibn Musa al-Khawarizmi. Selain itu beliau dikenali sebagai Abu Abdullah Muhammad bin Ahmad bin Yusoff. Al-Khawarizmi dikenal di Barat sebagai Al-Khawarizmi, Al-Cowarizmi, Al-Ahawizmi, Al-Karismi, Al-Goritmi, Al-Gorismi dan beberapa cara ejaan lagi.
Beliau dilahirkan di Bukhara. Tahun 780-850M adalah zaman kegemilangan Al-Khawarizmi. Al-Khawarizmi telah wafat antara tahun 220 dan 230M. Ada yang mengatakan Al-Khawarizmi hidup sekitar awal pertengahan abad ke-9M.
Sumber lain menegaskan beliau hidup di Khawarism, Usbekistan pada tahun 194H/ 780M dan meninggal tahun 266H/ 850M di Baghdad.
Dalam pendidikan telah dibuktikan bahwa Al-Khawarizmi adalah seorang tokoh Islam yang berpengetahuan luas. Pengetahuan dan keahliannya bukan hanya dalam bidang syariat tapi di dalam bidang falsafah, logika, aritmatika, geometri, musik, ilmu hitung, sejarah Islam dan kimia.
Beliau telah menciptakan pemakaian Sinus dan Tangen dalam penyelidikan trigonometri dan astronomi. Dalam usia muda beliau bekerja di bawah pemerintahan Khalifah al-Ma’mun, bekerja di Bayt al-Hikmah di Baghdad.
Beliau bekerja dalam sebuah observatory yaitu tempat belajar matematika dan astronomi. Al-Khawarizmi juga dipercaya untuk memimpin perpustakaan khalifah. Beliau pernah memperkenalkan angka-angka India dan cara-cara perhitungan India pada dunia Islam. Beliau juga merupakan seorang penulis Ensiklopedia dalam berbagai disiplin. Al-Khawarizmi adalah seorang tokoh yang pertama kali memperkenalkan aljabar dan hisab (ilmu hitung Islam). Banyak lagi ilmu pengetahuan yang beliau pelajari dalam bidang matematika dan menghasilkan konsep-konsep matematika yang begitu populer yang masih digunakan sampai sekarang.
Kepribadian al-Khawarizmi telah diakui oleh orang Islam maupun dunia Barat. Inidapat dibuktikan bahwa G.Sarton mengatakan bahwa “pencapaian-pencapaian yang tertinggi telah diperoleh oleh orang-orang Timur….” Dalam hal ini Al-Khawarizmi. Tokoh lain,Wiedmann berkata….” Al-Khawarizmi mempunyai kepribadian yang teguh dan seorang yang mengabdikan hidupnya untuk dunia sains”. Beberapa cabang ilmu dalam Matematika yangdiperkenalkan oleh Al-Khawarizmi seperti: geometri, aljabar, aritmatika dan lain-lain.

Pythagoras

Pythagoras of Samos adalah seorang filsuf YunaniIonia dan pendiri gerakan keagamaan disebut Pythagoreanism. Sebagian besar informasi tentang Pythagoras ditulis berabad-abad setelah ia hidup, dan sedikitnya informasi yang dapat dipercaya sehingga sangat sedikit yang diketahui tentang dia.
Ia lahir di pulau Samos, dan mungkin bepergian secara luas di masa mudanya, mengunjungi Mesir dan tempat-tempat lain untuk mencari pengetahuan. Sekitar 530 SM, ia pindah ke Croton, sebuah koloni Yunani di Italia selatan, disana dia mendirikan sebuah sekte keagamaan. pengikut-nya mengejar ritual keagamaan dan praktek yang dikembangkan oleh Pythagoras, dan mempelajari teori filosofisnya.
Masyarakat mengambil peran aktif dalam politik Croton, tapi ini akhirnya menyebabkan kejatuhan mereka. Tempat pertemuan Pythagoras dibakar, dan Pythagoras terpaksa melarikan diri. Dia dikatakan telah mengakhiri hari-harinya di Metapontum. Pythagoras memberikan kontribusi berpengaruh terhadap filsafat dan ajarankeagamaan pada akhir abad ke-6 SM. Ia sering dipuja sebagai matematikawan besar, mistik dan ilmuwan, dan dia terkenal karena teorema Pythagoras yang diambil dari namanya.

Perkembangan Bilangan
Sejarah bilangan dapat kita telusuri dengan berbagai pendekatan. Kita dapat
menyusun ulang sejarah bilangan berdasarkan solusi persamaan, yaitu persamaan
linear dan persamaan kuadrat. Dengan modal bilangan asli dan persamaan linear kita
akan sampai pada kesimpulan bahwa harus ada bilangan nol, sistem bilangan bulat,
dan sistem bilangan rasional. Kemudian, dengan persamaan kuadrat kita akan sampai
pada kesimpulan bahwa harus ada bilangan real dan bilangan kompleks. Secara sederhana, sejarah bilangan dapat kita mulai dengan bilangan Asli. Bilangan
Asli merupakan bilangan yang pertama kali dikenal manusia. Hal ini karena secara
alamiah manusia akan melihat berbagai benda/objek dan kemudian untuk keperluan
tertentu mereka harus menghitungnya. Mereka memiliki, uang, kambing, anak, pohon,
saudara, dan lain-lain. Untuk menghitung benda-benda tersebut bilangan yang
digunakan adalah bilangan Asli. Tentu saja mereka tidak menyadari bahwa bilangan
yang mereka gunakan untuk menghitung tersebut adalah bilangan Asli. Penamaan
tersebut dilakukan setelah jaman modern untuk keperluan pengembangan ilmu
pengetahuan. Dengan demikian kita dapat mendefinisikan bahwa bilangan asli adalah
bilangan yang digunakan untu menghitung. Notasi himpunan bilangan asli adalah N..Anggota bilangan asli adalah N={1,2,3,…}. Bilangan asli yang sudah dikenal tentu harus dilengkapi dengan suatu aturan untuk
mengoperasikan bilangan tersebut. Operasi tersebut adalah penjumlahan,
pengurangan, perkalian, dan pembagian. Kita sudah mengetahui bahwa bilangan asli
bersifat tertutup terhadap penjumlahan. Artinya, penjumlahan dua bilangan asli
akan menghasilkan bilangan asli. Tetapi tidak demikian dengan pengurangan. Kita
akan mendapati bahwa jika sebuah bilangan asli dikurangi dengan bilangan asli
hasilnya belum tentu bilangan asli. Sebagai contoh, 5 – 5 = 0. Jelas bahwa bukan
anggota bilangan asli. Oleh karena itu, sistem bilangan asli harus diperluas
dengan menyertakan 0 sebagai anggota. Perluasan ini kemudian dikenal sebagai
bilangan Cacah.
Bilangan nol merupakan salah satu penemuan yang sangat penting. Sebelum ada bilangan nol menuliskan bilangan-bilangan yang besar sangat sulit. Bahkan beberapa bilangan memiliki notasi yang sama. Desa adanya bilangan nol, penulisan bilangan –bilangan yang besarpun menjadi mudah. Bilangan nol pertama kali digunakan di China dan India tetapi kemudian dipopulerkan oleh bangsa Arab pada era keemasan Islam.
Perkembangan selanjutnya, bilangan Cacah pun ternyata tidak dapat sepenuhnya
merepresentasikan objek dalam dunia nyata. Dalam dunia nyata ada orang yang
memiliki uang, ada orang yang tidak memiliki uang, dan bahkan ada orang yang
memiliki utang. Keadaan pertama dapat kita tulis dengan bilangan asli, sedangkan
keadaan kedua bisa kita tulis dengan bilangan 0. Bagaimana dengan keadan yang
ketiga jika yang menjadi kerangka acuan adalah keberadaan uang. Hal ini akan
membawa kita pada perluasan sistem bilangan cacah menjadi menjadi bilangan bulat.
Perluasan bilangan bulat dapat juga dijelaskan dengan operasi pada dua bilangan
bulat. Dengan operasi pengurangan, ternyata diketahui bahwa jika dua bilangan
cacah dikurangkan maka hasilnya belum tentu bilangan cacah. Sebagai contoh, 6 – 4
= 2 dan 2 masih merupakan bilangan cacah, tetapi 4 – 6 tidak ada interpretasinya
dalam bilangan cacah. Selanjutnya digunakan bilangan negatif untuk menyatakan
hasil 4 – 6. Dengan demikian, karena 4 – 6 merupakan kebalikan dari , maka 4 – 6 =
-2. Gabungan bilangan cacah dengan bilangan negatif ini yang kemudian membentuk
bilangan bulat. Notasi himpunan bilangan bulat adalah , dan anggota bilangan Z bulat adalah Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}
Perhatikan bahwa -2 tidak hanya dihasilkan dari 4 – 6, tetapi dapat juga
dihasilkan dari 5 – 7, 10 – 12, 20 – 22 dan masih banyak lagi. Berdasarkan hal
tersebut, setiap bilangan bulat mewakili suatu hasil pengurangan dalam cacah.
Sebagai contoh, bilangan 2 mewakili hasil-hasil dari {2 – 0, 3 – 1, 4 – 2, …}.
Bilangan -3 mewakili hasil-hasil dari {0 – 3, 2 – 5, 7 – 10, …}. Hal ini berarti
anggota himpunan bilangan bulat adalah hasil operasi pengurangan pada bilangan
asli.
Bilangan bulat yang disertai dengan operasi penjumlahan dan perkalian membentuk
struktur tertentu dalam matematika. Struktur yang dimiliki bilangan bulat adalah,
terhadap operasi penjumlahan, sistem bilangan bulat membentuk grup yang komutatif
(grup abelian). Hal ini berarti terhadap penjumlahan bilangan bulat bersifat
tertutup, asosiatif, memiliki unsur identitas, memiliki invers (lawan) dan
komutatif,. Terhadap perkalian, bilangan bulat memiliki sifat, tertutup,
komutatif, asosiatif, dan mempunyai unsur identitas. Dengan demikian sistem
bilangan bulat memiliki sifat yang lebih lengkap daripada sistem bilangan
sebelumnya.
Selanjutnya, terhadap operasi pembagian, ternyata bilangan bulat tidak bersifat
tertutup. Dalam kehidupan sehari-hari kita sering harus membagi suatu objek
menjadi beberapa bagian. Setelah dibagi hasilnya bisa utuh bisa juga tidak utuh.
Sebagai contoh, jika kita memiliki 10 apel kemudian akan dibagikan kepada 5 anak,
maka masing-masing anak akan mendapat 2 apel (masing-masing apel masih utuh).
Tetapi jika 10 apel tersebut akan dibagikan kepada 20 anak, maka setiap anak
mendapat setengah apel. Tidak ada bilangan bulat yang dapat digunakan untuk
menyatakan hasil tersebut. Oleh karena itu, sistem bilangan diperluas.
Perluasan dari sistem bilangan bulat tersebut adalah sistem bilangan rasional.
Bilangan rasional didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis sebagai m/n
dengan m dan n bilangan bulat dan n≠0. Dengan perluasan sistem bilangan ini, maka
persoalan tentang pembagian dapat diselesaikan. Jika sistem bilangan bulat
membentuk struktur grup abelian, maka sistem bilangan rasional membentuk lapangan
(Field).
Selanjutnya, kita semua mengenal teorema Pythagoras. Jika kita mempunyai segitiga
siku-siku dengan sisi tegak masing-masing 1 satuan panjang, maka panjang sisi
miringnya (hypotenusa) adalah √2. Namun, √2 tidak dapat dinyatakan dalam bentuk
m/n dengan m dan n bilangan bulat dan n≠0 (bukti lengkapnya lihat di buku analisis
real). Ini berarti ada bilangan lain di luar sistem bilangan rasional. Bilangan
tersebut dikenal sebagai bilangan irasional. Gabungan bilangan rasional dan
bilangan irasional membentuk sistem bilangan real. Bilangan real dapat
didefinisikan sebagai bilangan yang dapat digunakan untuk mengukur. Sistem
bilangan real membentuk lapangan terurut yang lengkap. Sistem bilangan real dapat
memenuhi kebutuhan manusia tentang bilangan. Meski demikian, sistem bilangan masih
dapat diperluas.

Leave a comment

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s